已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)

题目

已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)

答案

有条件可知a＜0且f(x)=0的两根为-3和2
则-3+2=-(b-8)/a……(1)
(-3)*2=(-a-ab)/a……(2)
由(1)和(2)解得a=-3,b=5
有因为ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立
即-3x^2+5x+c≤0在[1,4]上恒成立
则c≤3x^2-5x在[1,4]上恒成立
令g(x)=3x^2-5x
则g(x)=3(x-5/6)^2-25/12
g(x)在（-∞,5/6]上单调递减,在[5/6,+∞）上单调递增.
则g(x)在[1,4]上的最小值为g(1)=-2
因此c≤-2