求函数z=x2+5y2-6x+10y+6的极值．

题目

求函数z=x²+5y²-6x+10y+6的极值．

答案

由

∂z ∂x ＝2x−6＝0 ∂z ∂y ＝10y+10＝0

，求得函数的驻点为：P₀（3，-1）．
因为A=

∂2z

∂x2

=2，B=

∂2z

∂x∂y

=0，C=

∂2z

∂y2

=10，
所以AC-B²=20＞0，且A＞0，
从而函数在 P₀（3，-1）取得极小值，最小值为：z（3，-1）=-8．

由一阶导数=0求解z的驻点；计算z的二阶导数

∂2z

∂x2

、

∂2z

∂x∂y

、

∂2z

∂y2

在驻点处的值A、B、C，并由AC-B²与A的符号判断驻点是否为极值点．

本题考点：求多元函数的极值；求函数的极值点．

考点点评：本题考查了求解二元函数极值的方法，题目难度系数适中．该类题目是常考题型，需要熟练掌握．