等腰三角形的周长为2p,要使得该三角形绕底边上的高旋转所成的锥体体积为最大,其各边长应为多少

题目

等腰三角形的周长为2p,要使得该三角形绕底边上的高旋转所成的锥体体积为最大,其各边长应为多少

答案

腰记为x,底边长为2a,则a+x=p,h=根号下(x^2-a^2)
V=pi*a^2*h/3
求V的最大值,即为a^2*h的最大值,即a^2*a^2*h^2=a^2*a^2*(x^2-a^2)取最大值.
x=p-a
x^2=p^2+a^2-2pa
x^2-a^2=p^2-2pa
上式为:a^2*a^2*(p^2-2pa)=(1/2)p*a*a*a*a*(2p-4a)
由均值不等式,当且仅当a=a=a=a=2p-4a,即a=2p/5时,体积最大,此时三边长分别为:3p/5,3p/5,4p/5