讨论线性方程组,当a取什么值时方程组有唯一解?取什么值时有无穷多解?取什么值时无解

题目

讨论线性方程组,当a取什么值时方程组有唯一解?取什么值时有无穷多解?取什么值时无解
(a+3)X1+X2+2X3=a
aX1+(a-1)X2+X3=a
3(a+1)X1+aX2+(a+3)X3=3

答案

系数行列式 =
a+3 1 2
a a-1 1
3(a+1) a a+3
c1-c2-c3
a 1 2
0 a-1 1
a a a+3
r3-r1
a 1 2
0 a-1 1
0 a-1 a+1
r3-r2
a 1 2
0 a-1 1
0 0 a
= a^2(a-1).
所以当a≠0且a≠1时,方程组有唯一解.
当a=0时,增广矩阵 =
3 1 2 0
0 -1 1 0
3 0 3 3
-->r3-r1-r2
3 1 2 0
0 -1 1 0
0 0 0 3
此时方程组无解.
当a=1时,增广矩阵 =
4 1 2 1
1 0 1 1
6 1 4 3
-->r3-r1-2r2,r1-4r2
0 1 -2 -3
1 0 1 1
0 0 0 0
此时方程组有无穷多解.