如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,AD=2,E为BC的中点 (1)求点A到面A1DE的距离; (2)设△A1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得AM=λAD且MG⊥平
题目
如图,长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AA
1=,AB=1,AD=2,E为BC的中点
(1)求点A到面A
1DE的距离;
(2)设△A
1DE的重心为G,问是否存在实数λ,使 得
=
λ且MG⊥平面A
1ED同时成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
答案
如图,
(1)由题意求得AE=
,DE=
,又AD=2,∴AE
2+ED
2=AD
2,
∴AE⊥DE.
又DE⊥AA
1,AA
1∩AE=A,AA
1⊂面A
1AE,AE⊂面A
1AE,
∴DE⊥面A
1AE,∴平面A
1AE⊥平面A
1ED,
∵
A1A=AE=,
取A
1E的中点H,AH⊥A
1E,AH⊥DE,A
1E∩ED=E,A
1E⊂面A
1DE,
ED⊂面A
1DE,
∴AH⊥面A
1DE,
AH为点A到面A
1DE的距离.
∵AH=1,∴点A到面A
1DE的距离为1
(2)在三角形A
1ED中,∵H是A
1E的中点,G为三角形A
1ED的重心,
又∵AH⊥面A
1ED,过点G作GM∥AH交AD于M,
则MG⊥A
1ED,且AM=
AD,
故存在实数
λ=,使得
=λ,且MG⊥平面A
1ED同时成立.
(1)由题意求出AE、DE的长度,由勾股定理得到AE和DE垂直,再由几何体为长方体得到DE⊥AA1,从而得到平面A1AE⊥平面A1ED,取A1E的中点H后连结AH,得到AH的长度为点A到面A1DE的距离,然后在直角三角形A1AE中求解即可;
(2)过G作GM∥AH交AD于M,由AH⊥面A1DE得到MG⊥面A1DE,再利用重心的性质及平行线截线段成比例定理得到λ的值.
点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质.
本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了点线面间距离的计算,考查了学生的空间想象能力和思维能力,考查了三角形重心的性质,是中档题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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