如果A是n阶正定矩阵,B是n阶实反对称矩阵,证明 A-BTB是 正定矩阵.

题目

如果A是n阶正定矩阵,B是n阶实反对称矩阵,证明 A-BTB是 正定矩阵.

答案

yajun宝贝 ,
由反对称矩阵定义知有B=-B^T,于是A-B^TB=A+B^2,由正负矩阵的定义有X^TAX>0,于是X^T(A-B^TB)X=X^TAX-X^TB^TBX=X^TAX+(B^TX)2>0,故是正定矩阵.