已知f(x)是一次函数并且f{f[f(x)]}=8x+7,试求f(x)的解析式

题目

已知f(x)是一次函数并且f{f[f(x)]}=8x+7,试求f(x)的解析式

答案

“已知f(x)是一次函数” 不妨设f(x)=ax+b
则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}
=f[a*(ax+b)+b] (因为f(x)=ax+b 则f(ax+b)=a*(ax+b)+b)
=a[a*(ax+b)+b]+b
=a^2(ax+b)+ab+b
=a^3x+a^2b+ab+b
=8x+7
则a^3=8 ; a^2b+ab+b=7
由第一个等式可得 a=2 代入后面的等式得
4b+2b+b=7 即 7b=7 则 b=1
所以 f(x)=2x+1