y的二阶导数+2y的一阶导数-3y=6x+1的通解
题目
y的二阶导数+2y的一阶导数-3y=6x+1的通解
其对应齐次方程为y''+2y'-3y=0,特征方程为γ^2+2γ-3=0,其通解为y=C1e^x+C2e^(-3x),由于0不是特征方程的根,所以设非齐次方程y''+2y'-3y=6x+1的通解为y*=ax+b,代入方程,得2a-3ax-3b=6x+1,所以说a=-2,b=-5/3,y*=-2x-5/3,则原方程的通解为y=C1e^x+C2e^(-3x)+6---2x-5/3
我不懂的是“由于0不是特征方程的根,所以设非齐次方程y''+2y'-3y=6x+1的通解为y*=ax+b,代入方程,得2a-3ax-3b=6x+1,所以说a=-2,b=-5/3,y*=-2x-5/3”这部分是什么意思?.
什么0不是特征方程的根 0是什么啊?ax+b又是怎么来的?是怎么把通解y*=ax+b带入方程的呢?a和b该怎么求呢?请赐教.看不懂
答案
右边写成e^(0x)(6x+1)
判断右边指数0不是根,故特解y与6x+1同次,即 y=ax+b,然后代入y''+2y'-3y=6x+1求出a,b
如果这题是y''+2y'=6x+1,那么右边指数0是根,故特解y与x(6x+1)同次,即 y=x(ax+b)
如果这题是y''=6x+1,那么右边指数0是二重根,故特解y与x^2(6x+1)同次,即 y=x^2(ax+b)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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