已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0，求角B的大小并判断△ABC的形状．

题目

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0，求角B的大小并判断△ABC的形状．

答案

由2cos2B-8cosB+5=0，可得4cos²B-8cosB+3=0，
即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB＝

1

2

或cosB＝

3

2

（舍去）．
∵0＜B＜π，∴B＝

π

3

又∵a，b，c成等差数列，即a+c=2b．
∴cosB＝

a2+c2−b2

2ac

＝

a2+c2−( a+c 2 )2

2ac

＝

1

2

，
化简得a²+c²-2ac=0，解得a=c，
∵B＝

π

3

∴△ABC是等边三角形．