如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点． （1）求证：AC⊥BC1； （2）求证：AC1∥平面CDB1．

题目

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC₁； 
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

答案

证明：（1）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以C₁C⊥平面ABC，所以C₁C⊥AC．
又因为AC=3，BC=4，AB=5，
所以AC²+BC²=AB²，
所以AC⊥BC．
又C₁C∩BC=C，
所以AC⊥平面CC₁B₁B，
所以AC⊥BC₁．
（2）连结C₁B交CB₁于E，再连结DE，
由已知可得E为C₁B的中点，
又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC₁的中位线．
∴AC₁∥DE
又∵DE⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁．