若一个正整数既不是2的倍数,又不是3 的倍数,求证：这个数的平方加5是6的倍数

题目

若一个正整数既不是2的倍数,又不是3 的倍数,求证：这个数的平方加5是6的倍数

答案

这个题目有点小难度,只要证明这个数的平方加5技能被2整除,也能被3整除就可以知道可以被6整除了.
首先：这个正整数既不是2的倍数可以设这个数为2N+1（余数不能大于2）；
这个正整数又不是3的倍数可以设这个数位3M+1,或3M+2（余数不能大于3）；
其次分两种情况证明：
（1）这个数位2N+1=3M+1,得出N=1.5M
（2N+1）^2+5=4N^2+4N+6=2(2N^2+2N+3),这个肯定能被2整除；
（2*1.5M+1）^2+5=9M^2+6M+6=3(3M^2+2M+2),这个肯定能被3整除：
所以第一种情况正被6整除.同理2N+1=3M+2,这种情况也可以,综上所述这个数的平方加5是6的倍数 .