如图，已知AB为圆O的弦，直径MN与AB相交于圆O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D．求证：AC=BD，OC=OD．

题目

如图，已知AB为圆O的弦，直径MN与AB相交于圆O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D．求证：AC=BD，OC=OD．

答案

证明：连接CN，作OE⊥AB于E，交CN于点F，
∵OE⊥AB，
∴EA=EB．
∵MC⊥AB，ND⊥AB，OE⊥AB，
∴MC‖OE‖ND．
∵OM=ON，
∴CF=FN．
∵EF∥DN，CF=FN，
∴EC=ED．
∵EA-EC=EB-ED
∴AC=BD；
在△ECO和△EDO中，

EC＝ED ∠OEC＝∠OED OE＝OE

，
∴△ECO≌△EDO（SAS），
∴OC=OD．

根据垂径定理，可得EA与EB的关系，根据三角形的中位线，可得CF与FN的关系，再根据三角形的中位线，可得EC与ED的关系，根据等式的性质，可得AC与BD的关系；根据全等三角形的判定与性质，可得OC与OD的关系．

本题考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形的中位线是解题关键．