在一个三角形中,a+b=acotA+bcotB,求角C

题目

在一个三角形中,a+b=acotA+bcotB,求角C
看清楚,是求角C不是求C的长度

答案

C=90
由a+b=acotA+bcotB两边乘sinAsinB得
(a+b)sinAsinB=acosAsinB+bcosBsinA
asinB(sinA-cosA)=bsinA(cosB-sinB),由正弦定理得
sinAsinB(sinA-cosA)=sinBsinA(cosB-sinB)
sinAsinB(sinA-cosA- cosB+sinB)=0
A,B均是三角形内角,sinA,sinB均不为零得
sinA-cosA- cosB+sinB=0
sinA+sinB=cosA+ cosB
利用和差化积得
2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)=0
(sin((A+B)/2)-cos((A+B)/2))cos((A-B)/2)=0
故得cos((A-B)/2)=0,或sin((A+B)/2)-cos((A+B)/2)=0
如果cos((A-B)/2)=0得,(A-B)/2=90,A-B=180,这是不可能的,
如果sin((A+B)/2)=cos((A+B)/2)得
tan((A+B)/2)=1,(A+B)/2=45
A+B=90
C=180-( A+B)=90