过点p（-3,o）且倾斜角为30°的直线和曲线{x=t+1/t y=t-1/t(t为参数)}相交于A,B两点,求线段AB的长.

题目

过点p（-3,o）且倾斜角为30°的直线和曲线{x=t+1/t y=t-1/t(t为参数)}相交于A,B两点,求线段AB的长.

答案

设直线方程为 y=kx+b
k=tan30°=1/√3
又直线过（-3,0）
0=-3/√3+b
b=√3
所以直线方程为：y=x/√3+√3 ⑤
曲线：x=t+1/t ① y=t-1/t ②
式①+②化得：x+y=2t　③
式①-②化得：x-y=2/t ④√ ²
由式③*④得：x²-y²=4 ⑥
直线方程⑤代入曲线方程⑥得：x²-(x/√3+√3)²=4
x²-x²/3-2x-3=4
2x²-6x-21=0
根据求根公式：
判别式=36+4*2*21=4*51
x=(6±2√51)/4
所以 x=(3±√51)/2
代入 ⑤式得：y=(3±√51)/2√3+√3
线段AB的长=√((x1-x2)²+(y1-y1)²)
=√(((3+√51)/2-(3-√51)/2)²+(((3+√51)/2√3+√3)-((3-√51)/2√3+√3))²)
=√(51+51/3)
=2√17
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