设f(x)=√x,g(x)=-x+a(a＞0,a∈R),若不等式▏{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x)▕ ≤1对x∈[1,4]恒成立,求a的取值范围.小弟拜谢!

题目

设f(x)=√x,g(x)=-x+a(a＞0,a∈R),若不等式▏{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x)▕ ≤1对x∈[1,4]恒成立,求a的取值范围.小弟拜谢!
√是根号，分子是f(x)+a[g(x)-2a]，分母是f(x)

答案

这个可以用基本不等式.
首先：{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x)＝1－（a√x+a^2/√x）
由于a>0,所以a√x+a^2/√x > =2√(a^3) > 0
当且仅当x=a时,取等号
要使▏{f(x)+a[g(x)-2a]}/f(x)▕ ＝▕ 1－（a√x+a^2/√x）▕