已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：

题目

已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：
证明：在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0

答案

证明：
∵f(x)在[0,1]上有二阶导数
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导
∴G(x)及G'(x)在[0,1]上也连续可导
又f(0)=f(1)=0
∴G(0)=0*f(0)=0,G(1)=f(1)=0
由罗尔定理知
在(0,1)内至少存在一点ξ1,使G'(ξ1)=0
又G'(x)=f(x)+xf'(x)
且f(0)=f(1)=0
∴G'(0)=f(0)+0*f'(0)=0
∴G'(0)=G'(ξ1)=0
∴由罗尔定理知
在(0,ξ1),即(0,1)内至少存在一点m,使G''(m)=0
证毕