证明：1²+2²+3²+4²+5²+6²+.+k²=n(n+1)(2n+1)÷6

题目

证明：1²+2²+3²+4²+5²+6²+.+k²=n(n+1)(2n+1)÷6

答案

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 　　.　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.　　把这n个等式两端分别相加,得：　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,　　代入上式得：　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n 　　整理后得：1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6