求证f(a+b)-f(2a)〈b-a/2a 0〈b〈a

题目

求证f(a+b)-f(2a)〈b-a/2a 0〈b〈a
f(x)=lnx

答案

不知楼主学没学导数,要是学了的话就好办了,下面仅供参考：
f(a+b)-f(2a)=ln(a+b)-ln(2a)=ln[(a+b)/(2a)]=ln[(b-a)/(2a) + 1]
于是原不等式化成：
ln[(b-a)/(2a) + 1]<(b-a)/(2a)
令t=(b-a)/(2a),则t+1=(b+a)/(2a)
∵00,t=(b-a)/2a<0,且t+1=(b+a)/(2a)>0,即t>-1
而原不等式化为：ln(1+t)-t<0
设函数g(x)=ln(1+x)-x,则只需证明当-1对g(x)求导：
g'(x)=1/(1+x) -1=-x/(1+x)
可知,当x<0时,g'(x)>0,g(x)在(-∞,0)上单调递增
∴由-1g(t)而f(0)=0
∴g(t)<0
即:ln[(b-a)/(2a) +1]<(b-a)/(2a)
于是原不等式成立