已知抛物线C1：y=-x2+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．（1）请在横线上直接写出抛物

题目

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的

顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．
（1）请在横线上直接写出抛物线C₂的解析式：______；
（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）y=-x²-2mx+n；
（2）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形，
理由如下：如图：
∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC，过点A作抛物线C₁的对称轴交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E．
∴当m=1时，顶点A的坐标为A（1，1+n），
∴CE=1；
又∵点C的坐标为（0，n），
∴AE=1+n-n=1，
∴AE=CE；
从而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°，
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形；
（3）假设抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC．
由（2）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC，
从而△ABC为等边三角形．
∴∠ACy=∠BCy=30°．
∵四边形ABCP为菱形，且点P在C₁上，
∴点P与点C关于AD对称，
∴PC与AD的交点也为点E，
因此∠ACE=90°-30°=60°．
∵点A，C的坐标分别为A（m，m²+n），C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=|m|．
在Rt△ACE中，tan60°＝

＝

|m|

＝

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