已知曲线过点(1,2),且曲线上任意一点处的切线及原点与该点的连线总与横轴上的线段组成等腰三角形

题目

已知曲线过点(1,2),且曲线上任意一点处的切线及原点与该点的连线总与横轴上的线段组成等腰三角形

答案

已知曲线C过点(1,2),且曲线上任意一点处的切线及原点与该点的连线总与横轴上的线段组成等腰三角形,求曲线方程.
设曲线C的方程为y=f(x),且有f(1)=2.
设P(m,n)是曲线上的任意一点,过该点的切线的斜率k=f′(x),设该切线的倾角为α,与x轴的交点为Q；连接OP,设OP的倾角为β；由于︱OP︱=︱OQ︱,故β=2α,
∴tanβ=tan2α=2tanα/(1-tan²α),其中,tanβ=y/x,tanα=y′,代入得：
y/x=2y′/[1-(y′)²],故有等式：2xy′=y[1-(y′)²],即有微分方程：y(y′)²+2xy′-y=0.(1)
曲线C的方程就是(1)的特解.