已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点； （3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x

题目

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．

答案

（1）把x=2代入得22+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；（2）证明：∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q＞0，由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，（3分）∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根．（...

（1）把x=2代入可求得q与p的关系式；
（2）由△=b²-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况；
（3）先写出该抛物线的顶点坐标，方程根与系数关系可求线段AB的长，进而求得△AMB的面积表达，从而求得最小值．

本题考点：抛物线与x轴的交点．

考点点评：考查了代入法、判别式△的使用，以及一元二次方程中根与系数的关系、三角形面积的求法、最大最小值的求解等内容．