如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=6千米,BD=14千米,且CD=15千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂

题目

如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=6千米,BD=14千米,且CD=15千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?

答案

本题就是求河上一点到到A、B两小镇距离和最小
可以参考初中牵马到河边喝水的解法
做A关于CD的对称点A′：延长AC到点A′,使AC=A′C,连接A′B交CD于P,
AC=A′C,
AC⊥CD,所以∠ACP=∠A′CP=90
CP=CP
因此△ACP≌△A′CP
AP=A′P
现在要求AP+BP最小,也就是A′P+BP最小,因此只要A′、B、P在一条直线上即可
此时做A′D平行CD,交BD延长线于E
简单可得三角形A′EB是直角三角形,四边形A′EDC是矩形,所以A′E=CD=30,DE=A′C=10
在直角三角形A′EB中,A′E=30,BE=BD+DE=40
根据勾股定理,A′B=50
因此A、B到水厂距离和最小为50千米
总费用为：50×3=150（万元）