已知直线x+2y+m=0(m∈R)与抛物线C:y2=x相交于不同的两点A,B. (1)求实数m的取值范围; (2)在抛物线C上是否存在一点P,对(1)中任意m的值,都有直线PA与PB的倾斜角互补?若存
题目
已知直线x+2y+m=0(m∈R)与抛物线C:y2=x相交于不同的两点A,B.
(1)求实数m的取值范围;
(2)在抛物线C上是否存在一点P,对(1)中任意m的值,都有直线PA与PB的倾斜角互补?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)联立直线x+2y+m=0(m∈R)和抛物线C:y
2=x,并整理得y
2+2y+m=0,
∵直线x+2y+m=0(m∈R)与抛物线C:y
2=x相交于不同的两点A,B.
∴判别式△=4-4m>0,∴m<1,即实数m的取值范围{m|m<1}.
(2)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),P(x
0,y
0)
kpA=,
kPB=+=0,
∴y
12=x
1,y
22=x
2,y
02=x
0+=0,∴-2y
0=y
1+y
2由(1)得:y
0=1
y
0=x
0=1
所以存在P(1,1),使得对(1)中任意的m的值,都有直线PA与PB的斜率互为相反数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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