A为n阶矩阵,λ1,λ2是A的两个不同的特征值,α1,α2是分别属于A的两个不同特征值的特征向量.若k1+k2仍为特征向量,则k1,k2满足什么关系

题目

A为n阶矩阵,λ1,λ2是A的两个不同的特征值,α1,α2是分别属于A的两个不同特征值的特征向量.若k1+k2仍为特征向量,则k1,k2满足什么关系
A为n阶矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，α1，α2是分别属于A的两个不同特征值的特征向量。若k1α1+k2α2仍为A的特征向量，则满足什么关系处理提问

答案

设k1α1+k2α2是A的属于特征值λ的特征向量
则 A(k1α1+k2α2) = λ(k1α1+k2α2)
所以 k1Aα1+k2Aα2 = k1λα1+k2λα2
由已知,Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2
所以 k1λ1α1+k2λ2α2 = k1λα1+k2λα2
所以 k1(λ-λ1)α1+k2(λ-λ2)α2 = 0.
由于属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 k1(λ-λ1)=k2(λ-λ2)=0.
所以 k1,k2 至少有一个等于0,即k1k2=0.
又由于k1α1+k2α2是特征向量,故k1,k2不能全为0
所以又有 k1+k2≠0.