已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+x2^2-4x1x2-4x2x3

题目

已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+x2^2-4x1x2-4x2x3
经正交变换x=Py化成了标准形f=-2y1^2+4y2^2+y3^2,求所用正交变换的矩阵P,

答案

由已知,f 的特征值为 1,4,-2
A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为:(1,2,2),单位化得 a1 = (1/3,2/3,2/3)'
A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为:(2,-2,1),单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'
A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为:(2,1,-2),单位化得 a3 = (2/3,1/3,-2/3)'
则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵
作正交线性变换 X = PY
则二次型 f = -2y1^2+4y2^2+y3^2