y=从0到x f(t)dt 的积分,其中f(x)为奇函数,要求证明函数的奇偶性,

题目

y=从0到x f(t)dt 的积分,其中f(x)为奇函数,要求证明函数的奇偶性,

答案

y(-x)=∫从0到-x f(t)dt
则 -y(-x)= -∫从0到-x f(t)dt =∫从-x到0 f(t)dt
则y(x) -y(-x)= ∫从-x到0 f(t)dt + ∫从0到x f(t)dt
=∫从-x到x f(t)dt
由于f(x)为奇函数,则∫从-x到x f(t)dt=0
即y(x) -y(-x)=0
y(x) =y(-x)
所以y(x)是偶函数