求方阵A=（1,2,2）（2,1,2,）（2,2,1）的特征值与特征向量

题目

求方阵A=（1,2,2）（2,1,2,）（2,2,1）的特征值与特征向量

答案

设特征值为λ
则A-λE=1-λ 2 2
2 1-λ 2
2 2 1-λ
令其行列式等于0,
化简得到：(-1-λ)(λ+1)(λ-5)=0,
所以方阵A的特征值为：λ1=λ2= -1,λ3=5
当λ= -1时,
A+E=（2,2,2 ～ （ 1,1,1
2,2,2 0,0,0
2,2,2） 0,0,0）
得到其两个基础解系为
p1= 1 p2= 1
-1 0
0 -1
当λ=5时,
A-5E=（-4,2,2 ～ （ 1,0,-1
2,-4,2 0,1,-1
2,2,-4） 0,0,0）
得到其基础解系为
p3= 1
1
1
所以这个三阶矩阵的特征值为：λ1=λ2= -1,λ3=5
其对应的特征向量分别是
p1=1 p2=1 p3=1
-1 0 1
0 -1 1