方程组{3x²+y=29;x+y=5的解是{x1=a1;y1=β1,{x2=a2;y2=β2,不解方程,求a1β2+a2β1的值
题目
方程组{3x²+y=29;x+y=5的解是{x1=a1;y1=β1,{x2=a2;y2=β2,不解方程,求a1β2+a2β1的值
答案
由题
α1+β1=5
α2+β2=5
α1β2+α2β1
=α1(5-α2)+α2(5-α1)
=5(α1+α2)-2α1α2
又,方程组可化为关于x的一元二次方程
3x²+5-x=29
即,3x²-x-24=0
而α1和α2为该方程的两根
由韦达定理可得
α1+α2=1/3
α1α2=-8
所以,
5(α1+α2)-2α1α2
=5×(1/3)-2×(-8)
=5/3 +16
=53/3
所以,α1β2+α2β1的值等于53/3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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