已知 △ABC中,∠A=60° 它的内切圆切BC于D 与AB,AC相切于E,F 且BD=2 DC=3 求△ABC的面积

题目

已知 △ABC中,∠A=60° 它的内切圆切BC于D 与AB,AC相切于E,F 且BD=2 DC=3 求△ABC的面积
OTZ...
半径到底怎么求.

答案

法宝:余弦定理
设内切圆的圆心为O,OA,OB,OC平分角A,角B,角C
所以O到三边的距离相等
OD=OE=OF
因为角OBA=角OBC,OB=OB
所以三角形OBE与三角OBD全等
BE=BD=2
同理,CF=CD=3,AF=AD
设AF=AD=x
则AB=x+2,AC=x+3,BC=5
由余弦定理得
BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cosA
25=(x+2)²+(x+3)²-2(x+2)(x+3)*(1/2)
25=3x²+5x+7
x²+5x-18=0
x=(-5+根号97)/2
AB=(根号97-1)/2
AC=(根号97+1)/2
S(ABC)=(1/2)*AB*AC*sinA=(1/2)*(97-1)/4*(根号3/2)=6根号3