棱长为a的正四面体中,有四个两两相切的球,且分别与正四面体的三个面相切,求这四个球的半径.

题目

棱长为a的正四面体中,有四个两两相切的球,且分别与正四面体的三个面相切,求这四个球的半径.

答案

设四面体四个顶点分别是B、C、D、E,与四个顶点对应的球分别为b、c、d、e.
球心分别为B1、C1、D1、E1,设球的半径为r.
考虑球b与平面BCD的切点P的位置,根据对称性,P点必在∠CBD的平分线上.
下面来求BP的长度：
B1在点B到面CDE的高线上,它与BP的夹角α是二面角B-CD-E的余角.
二面角B-CD-E=arccos(1/3)【这个很容易算出,用向量法或截面法】
∴sinα=1/3
cotα=√[1/(sinα)^2-1]=2√2
∴BP=rcotα=(2√2)r
BP在BD上的投影长为BP*cos30°=(√6)r
同理,设球d与平面BCD的切点为Q,Q在BD上投影长度为(√6)r
∴球b与d之间的距离2r就是BD去掉两段投影的长度.
即：2r=a-2(√6)r
解得：r=a/[2(√6+1)]=(√6-1)a/10
即4球半径为(√6-1)a/10