一个关于三角形内心的问题

题目

一个关于三角形内心的问题
在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,AD是角平分线,I是内心,则 AI / ID 等于（ ） A.a/(b+c) B.b/(a+c) C.(b+c)/a D.(a+b)/c

答案

选A.(b+c)/a.设BD=x,那么因为AD是角平分线,所以c/x=b/（a-x）,得x=ac/（b+c）.在三角形ABD中,BI是平分线,故AI/ID=c/x,从而得AI/ID=(b+c)/a 他没说是否是直角三角形,我们以等腰直角三角形为例以便于解决问题,其中A为直角,过a作ad垂直于bc边,在ad取一点i,过i作io垂直于边ac,ip垂直于边ab,这时id ip io 相等（i为内心）,此外直角三角形ADC和直角三角形AIO相似,又因为AI/ID=AI/IO,AI/IO=CA/DC,所以AI/ID=CA/DC.对于选项A,b+c=2b,a=2dc,(等腰直角三角形）,又因为CA=b,a=BC,DC=BD(等腰直角三角形）,所以.(b+c)/a=2CA/2DC=CA/DC,因为AI/IO=CA/DC,AI/ID=CA/DC,所以AI/ID=(b+c)/a.其他依次类推