已知;抛物线Y=ax^2+2x+c,对称轴位直线x=-1,抛物线与y轴交与点c

题目

已知;抛物线Y=ax^2+2x+c,对称轴位直线x=-1,抛物线与y轴交与点c
抛物线与Y轴交于点C与X轴交于A(-3,0),B两点
1、求直线AC解析式
2、若点D是线段AC下方抛物线上的动点求四边形ABCD面积的最大值
3、P为抛物线上一点，若以线段PB为直径的圆与直线BC切于点B，求点P的坐标

答案

第一个问题：
∵y＝ax^2＋2x＋c的对称轴为x＝－1,∴－2/（2a）＝－1,得：a＝1.
这样抛物线方程就可表达成：y＝x^2＋2x＋c.
∵点A（－3,0）在抛物线y＝x^2＋2x＋c上,∴0＝（－3）^2＋2×（－3）＋c,∴c＝－3.
∴点C的坐标为（0,－3）.
∴直线AC的解析式为（y－0）/（x＋3）＝（0＋3）/（－3－0）＝－1,∴x＋y＋3＝0.
即：直线AC的解析式为x＋y＋3＝0.
第二个问题：
∵A、B、C是定点,∴△ABC的面积是定值.
∴要使四边形ABCD的面积最大,只需要△ACD的面积最大就可以了.
∴需要△ACD中AC上的高有最大值.
显然,当与AC平行的直线与抛物线相切时,切点到AC的距离就是△ACD中AC上的高的最大值.
由AC的方程x＋y＋3＝0,得AC的斜率＝－1.
对y＝x^2＋2x－3求导数,得：y′＝2x＋2.
令点D的坐标为（n,n^2＋2n－3）,则2n＋2＝－1,∴n＝－3/2.
∴n^2＋2n－3＝9/4－3－3＝－15/4.
∴点D的坐标为（－3/2,－15/4）.
∴点D到AC的距离d1＝｜－3/2－15/4＋3｜/√2＝9√2/8.
令y＝x^2＋2x－3中的y＝0,得：（x＋3）（x－1）＝0,∴x1＝－3、x2＝1.
∴点B的坐标为（1,0）.
∴点B到AC的距离d2＝｜1＋0＋3｜/√2＝2√2.
又｜AC｜＝√［（－3－0）^2＋（0＋3）^2］＝3√2.
∴四边形ABCD的最大面积＝△ABC的面积＋△ACD的最大面积
＝（1/2）｜AC｜d2＋（1/2）｜AC｜d1＝（1/2）×3√2×2√2＋（1/2）×3√2×9√2/8＝75/8.
即：四边形ABCD的面积最大值为 75/8.
第三个问题：
∵BC切以PB为直径的圆于B,∴PB⊥BC.
由B（1,0）、C（0,－3）,得：BC的斜率＝（0＋3）/（1－0）＝3,∴PB的斜率为－1/3.
令点P的坐标为（t,t^2＋2t－3）,得：（t^2＋2t－3）/（t－1）＝－1/3,
∴3t^2＋6t－9＝－t＋1,∴3t^2＋7t－10＝0,∴（t－1）（3t＋10）＝0,
∴t1＝1、t2＝－10/3.
由t＝1,得：t^2＋2t－3＝1＋2－3＝0,∴此时点P的坐标为（1,0）.
由t＝－10/3,得：t^2＋2t－3＝100/9－20/3－3＝13/9,∴此时点P的坐标为（－10/3,13/9）.
即：满足条件的点P的坐标为（1,0）或（－10/3,13/9）.