设在上半平面D={（x,y)|y＞0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮yf(

题目

设在上半平面D={（x,y)|y＞0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=0.(积分区域为L)

答案

证∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=0,对这个用格林,或者积分与路径无关,只需证yf'y(x,y)+2f(x,y)+xf'x(x,y)=0；
f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y),对t求导得yf'y(tx,ty)+xf'x(tx,ty)=-2t^(-3)f(x,y),令t=1既得上面需证的式子,得证
貌似上一个题也是答的你的= =,给点分啦