已知抛物线的方程y2=4x,过定点P(-2,1)且斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点.求斜率k的取值范围.

已知抛物线的方程y2=4x,过定点P(-2,1)且斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点.求斜率k的取值范围.

题目
已知抛物线的方程y2=4x,过定点P(-2,1)且斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点.求斜率k的取值范围.
答案
直线l的方程为:y-1=k(x+2),化为y=kx+2k+1.
联立
y=kx+2k+1
y2=4x

化为k2x2+(2k+4k2-4)x+(2k+1)2=0,
∵直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点.
∴△>0,k≠0.
化为2k2+k-1<0,
解得-1<k<
1
2
,且k≠0.
∴斜率k的取值范围是-1<k<
1
2
,且k≠0.
直线l的方程为:y-1=k(x+2),与抛物线的方程联立化为k2x2+(2k+4k2-4)x+(2k+1)2=0,由于直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点.可得△>0,k≠0.解出即可.

抛物线的简单性质

本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立利用判别式△>0解出,考查了计算能力,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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