已知抛物线的方程y2=4x，过定点P（-2，1）且斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点．求斜率k的取值范围．

题目

已知抛物线的方程y²=4x，过定点P（-2，1）且斜率为k的直线l与抛物线y²=4x相交于不同的两点．求斜率k的取值范围．

答案

直线l的方程为：y-1=k（x+2），化为y=kx+2k+1．
联立

y=kx+2k+1 y2=4x

，
化为k²x²+（2k+4k²-4）x+（2k+1）²=0，
∵直线l与抛物线y²=4x相交于不同的两点．
∴△＞0，k≠0．
化为2k²+k-1＜0，
解得-1＜k＜

1

2

，且k≠0．
∴斜率k的取值范围是-1＜k＜

1

2

，且k≠0．

直线l的方程为：y-1=k（x+2），与抛物线的方程联立化为k²x²+（2k+4k²-4）x+（2k+1）²=0，由于直线l与抛物线y²=4x相交于不同的两点．可得△＞0，k≠0．解出即可．

本题考点：抛物线的简单性质

考点点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立利用判别式△＞0解出，考查了计算能力，属于基础题．