有一个足够大的容器,装有1000L溶液,浓度为50%,现在同时往里注入纯水,速度为15L/s,并且排出溶液,速度为5L/s,假设溶液在注入纯水瞬间已经均匀混合,且纯水与溶液混合并不发生体积变化,问经过

题目

有一个足够大的容器,装有1000L溶液,浓度为50%,现在同时往里注入纯水,速度为15L/s,并且排出溶液,速度为5L/s,假设溶液在注入纯水瞬间已经均匀混合,且纯水与溶液混合并不发生体积变化,问经过多少秒后,容器内溶液浓度变成10%?

答案

设 V（t) 为时间t 时,溶液的体积.设 R（t)为时间t 时,溶液的浓度.
于是V（0）=1000,R（0）=0.5
V（t + dt) = V(t) + 15 dt - 5dt= V(t)+10dt ==> V'(t)=10,V(t)=1000+10t
R(t + dt) = (V(t)R(t) - 5R(t) dt)/V(t + dt) ==>
R'(t)= lim (dt -->0)(R(t+dt) - R(t))/dt =-15R/（1000+10t)
==> (lnR)'=-15/(1000+10t)=-15/10 (ln(100+t))'
lnR = -15/10 ln(100+t) + C
带入 R（0）=0.5,
ln0.5= -3/2 ln100+ C,
C= -ln2 + 3ln10=ln500
然后 带入 R=0.1
ln0.1 = -3/2ln(100+t)+ln500
3/2ln(100+t)=ln5000
100+t = 5000^(2/3)
t=5000^(2/3)-100 秒.