二次型f(x1,x2,x3)=X1^2+X2^2+X3^3+2aX1X2+2X1X3+2bX2x3

题目

二次型f(x1,x2,x3)=X1^2+X2^2+X3^3+2aX1X2+2X1X3+2bX2x3
1,a ,b满足什么条件,此二次型秩为2
2.在1的条件下,判定此二次型是否为正定二次型.并说明理由

答案

二次型的矩阵A =
1 a 1
a 1 b
1 b 1
r2-ar1,r3-r1
1 a 1
0 1-a^2 b-a
0 b-a 0
因为二次型的秩为2,所以 a=b≠±1.
此时 |A| = 0,所以A不是正定矩阵 (A是正定矩阵的充要条件是所以顺序主子式都大于零)
所以f 不是正定二次型.