已知函数f（x）=根号x,g（x）=a/x,a∈R.若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）且交点处的切线互相垂直

题目

已知函数f（x）=根号x,g（x）=a/x,a∈R.若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）且交点处的切线互相垂直
求a的取值范围级切线的方程

答案

解设交点为（x0,y0）
则y0=√x0,y0=a/x0,即a/x0=√x0,即a=x0√x0.①
又有f'（x）=1/2√x,g'(x)=-a/x²
即曲线y=f（x）与曲线y=g（x）且交点处的切线的斜率为1/2√x0,-a/x0²
又有切线互相垂直即（1/2√x0）*（-a/x0²）=-1
即a=2x0²√x0.②
由①和②得x0=1/2
即a=1/2*√(1/2)=√2/4
即交点为（1/2,√2/2),切线斜率k=√2/2和k=-√2
即切线方程为y-√2/2=√2/2(x-1/2),即y=√2/2x+√2/4
y-√2/2=-√2(x-1/2),即y=-√2x