在正方体A1B1C1D1＿ABCD中,画出对角线AC1与平面A1BD及平面B1CD1的交点E,F,并证明E,F将对角线AC1三等分

题目

在正方体A1B1C1D1＿ABCD中,画出对角线AC1与平面A1BD及平面B1CD1的交点E,F,并证明E,F将对角线AC1三等分

答案

连结AC,与BD相交于O,连结A1O,
因BD⊥AC,AC是AC1在平面ABCD上的射影,根据三垂线定理,
BO⊥AC1,
又O是BD中点,A1B=A1D,
故A1O是等腰三角形A1BD的高,
A1O⊥BD,
A1O∩BD=O,
故AC1⊥平面A1DB,
同理AC1⊥平面CB1D1,
则AE⊥平面A1BD,
C1F⊥平面B1CD1,
设正方体棱长为1,则A1D=A1B=BD=√2,
AC1=√3,
V三棱锥A1-ABD=（1*1/2）/3=1/6,
S△A1BD=√3*（√2）^2/4=√3/2,
V三棱锥A-A1BD=VV三棱锥A1-ABD,
S△A1BD*AE/3=1/6,
AE=√3/3,
同理C1F=√3/3,
EF=AC1-AE-C1F=√3/3,
∴AE=EF=FC1=√3/3,
即E、F将对角线AC1三等分.