如图，四边形ABCD中，E是AD中点，CE交BA延长线于点F，且CE=EF． （1）试说明：CD∥AB； （2）若BE⊥CF，试说明：CF平分∠BCD．

题目

如图，四边形ABCD中，E是AD中点，CE交BA延长线于点F，且CE=EF．

（1）试说明：CD∥AB；
（2）若BE⊥CF，试说明：CF平分∠BCD．

答案

证明：（1）∵E是AD中点，
∴DE=AE，
在△DEC和△AEF中

DE＝AE ∠DEC＝∠AEF CE＝FE

，
∴△DEC≌△AEF（SAS），
∴∠D=∠EDF，
∴CD∥AB；
（2）∵CE=EF，BE⊥CF，
∴BC=BF，
∴∠FCB=∠F，
∵△DEC≌△AEF，
∴∠DCE=∠F，
∴∠DCE=∠FCB，
∴CF平分∠BCD．

（1）由E是AD中点得到DE=AE，利用对顶角相等得到∠DEC=∠AEF，再根据全等三角形的判定方法可证得△DEC≌△AEF，利用全等的性质有∠D=∠EDF，然后根据平行线的判定即可得到CD∥AB；（2）由CE=EF，BE⊥CF，根据等腰三角形的判定方法得到BC=BF，再根据等腰三角形的性质得∠FCB=∠F，由△DEC≌△AEF得到∠DCE=∠F，则∠DCE=∠FCB，即CF平分∠BCD．

本题考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质．