三角函数 (20 9:16:37)

题目

三角函数 (20 9:16:37)
设锐角三角形ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,且a=2bsinA.
求cosA+sinC的取值范围.

答案

因:a=2bsinA
b/sinB=a/sinA=2b
sinB=1/2
B=30度,或150度
所以:cos((B/2)-45度)=cos(-30度)=(根号3)/2
或,cos((B/2)-45度)=cos(30度)=(根号3)/2
cosA+sinC=sin(90度-A)+sinC=2sin(45度-((A-C)/2))*cos(45度-((A+C)/2))
=2sin(45度-((A-C)/2))*cos((B/2)-45度)
=(根号3)*sin(45度-((A-C)/2))
当(A-C)/2=-45度, C-A=90度,cosA+sinC为最大值:根号3
A-C=(A+C)-2C=180度-B-2C(根号3)*sin(-30度)
cosA+sinC>-(根号3)/2
综合以上,得: -(根号3)/2