已知正数数列{an}和{bn}满足:对任意n(n属于N*),an,bn,a成等差数列,且a(n+1)=根号bn*b(n+1).

题目

已知正数数列{an}和{bn}满足:对任意n(n属于N*),an,bn,a成等差数列,且a(n+1)=根号bn*b(n+1).
设a1=1,a2=2,求{an}和{bn}的通项公式

答案

an,bn,a(n+1)成等差数列得,an+a(n+1)=2bn -----①
由a(n+1)=√[bn*b(n+1)] -----②
递推得an=√[b(n-1)*bn] -----③
②③代入①得,√[bn*b(n+1)]+√[b(n-1)*bn]=2bn
上式两边同除以√bn得
√b(n+1)+√b(n-1)=2√bn,
即√b(n+1)-√bn=√bn-√b(n-1)
可见数列{√bn}是等差数列.
将a1=1,a2=2代入①求得,b1=3/2,再代入②得,b2=8/3
所以数列{√bn}的首项=√b1=√(3/2),公差d=√b2-√b1=√(8/3)-√(3/2)=√6/6.
所以√bn=(√b1)+(n-1)d=√(3/2)+ (n-1)(√6/6)=(n+2)/√6
bn=(n+2)²/6,进而递推得b(n-1)=(n+1)²/6,代入③得
an=(n+1)(n+2)/6