求y=x ²,y²= 8x 所围成图形分别绕x轴和y 轴所得旋转体的体积

题目

求y=x ²,y²= 8x 所围成图形分别绕x轴和y 轴所得旋转体的体积

答案

绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积=∫<0,2>π(8x-x^4)dx
=π(4x²-x^5/5)│<0,2>
=π(4*2²-2^5/5)
=48π/5；
绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积=∫<0,2>2πx[√(8x)-x²]dx
=2π∫<0,2>[2√2x^(3/2)-x³]dx
=2π[2√2(2/5)x^(5/2)-x^4/4]│<0,2>
=2π[2√2(2/5)*2^(5/2)-2^4/4]
=24π/5.
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