数学中极限严格定义为什么要用不等式

题目

数学中极限严格定义为什么要用不等式
比如X趋近a,F(X)的极限为L,严格定义为0＜丨x－a丨＜dalte,丨F（X）－L丨＜epsilon,也就是说通过让x与a的距离小于dalte,可以使F（x）与L的距离小于给定的epsilon,这里的两个“小于”为什么不能改成“等于”,也就是丨X－a丨＝dalte,丨F（X）－L丨＝epsilon,换成语言就是“使x与a距离为dalte,可以使F（x）与a的距离等于给定的epsilon”,我觉得这样用等式也可以!为什么还要用不等式?

答案

因为等于并不对,你理解不对,小于的要求更严格
从两个角度证明
1.对于y=sin(x)在x趋于0时,极限等于0,但是对于给定的epsilon=3,你无论如何选择delta,都不可能使它等于,所以epsilon不能用等于
2.对于y=sin(1/x)/x在x趋于0时,继续不存在.但是对于任意 delta,我总能找到一个epsilon=sin(1/delta)/delta,使得你说的等于条件成立
可见,无论哪个,都可以证明你的等于规则是谬论