证明4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c,在（0,1）内至少有一个根

题目

证明4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c,在（0,1）内至少有一个根

答案

证明：
记g(x)=ax^4+bx^3+cx^2-(a+b+c)x,
有g'(x)=f(x)=4ax^3+3bx^2+2cx-(a+b+c).且g(1)=g(0)=0,
显然g(x)在[0,1]上满足洛尔定理条件
知至少存一点x0∈(0,1)使得g'(x0)=f(x0)=0
整理即得证.