求cos(2n+1)x/cosx在0到派上定积分

题目

求cos(2n+1)x/cosx在0到派上定积分

答案

我假设n>=0是自然数,我的结论是pi*((-1)^n),pi是圆周率,(-1)^n是-1,1,-1,1的序列.
设F(n)=cos((2n+1)x)/cos(x)在0到pi的积分值.
因为cos((2n+1)x)+cos((2n-1)x)=2*cos(2nx)cos(x),两边同除cos(x),再从0到pi积分,
所以F(n)+F(n-1)=2*cos(2nx)在0到pi的积分.
对于n>=1,画个图就知道cos(2nx)在0到pi的积分是0（因为总是n个cos的正负周期的积分）.
所以F(n)+F(n-1)=0,所以F(n)=-F(n-1).
容易求得F(0)=pi,所以F(1)=-pi,F(2)=pi,F(3)=-pi,这么下去.
结论：cos(2n+1)x/cosx从0到pi的积分值=pi*(-1)^n,这里n>=0.
备注：如果n