过点(2,1,2),且分别垂直于平面x+3y+z=2,和平面3x+2y-4y=1,求此平面方程

题目

过点(2,1,2),且分别垂直于平面x+3y+z=2,和平面3x+2y-4y=1,求此平面方程

答案

由x+3y+z=2,3x+2y-4z=1得
x+3y=2-z,3x+2y=1+4z,
解得(x+1/7)/2=(y-5/7)/(-1)=z,此为两面交线方程,
所求平面垂直于已知两面,所以垂直于它们的交线,
∴所求平面的法向量平行于交线的方向向量,
∴所求平面方程是2(x-2)-(y-1)+(z-2)=0,
即2x-y+z-5=0.