对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(x)≥f(a) B.f(x)≤f(a) C.f(x)>f(a) D.f(x)<f(a)
题目
对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( )
A. f(x)≥f(a)
B. f(x)≤f(a)
C. f(x)>f(a)
D. f(x)<f(a)
答案
根据题意,对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0
当x≥a时,x-a≥0
∴此时f'(x)≥0
即,当x≥a时,f(x)为增函数.
当x<a时,x-a<0
∴此时f'(x)<0
即,当x<a时,f(x)为减函数.
综上,x=a时,f(x)取最小值f(a)
∴f(x)≥f(a)
故选A
根据已知题意,解(x-a)f′(x)≥0;然后根据f'(x)的符号判断f(x)的单调性,继而确定最小值,得到f(x)与f(a)的关系.
函数的单调性与导数的关系.
本题考查函数的导数与单调性的关系.通过函数的导数,确定单调性,再根据x=a两侧的单调性得出结论.属于中档题.
举一反三
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