设f(x)在[0,1]上连续,∫(下0,上1)f(x)dx=0,证明在(0,1)内,至少存在一点ξ 使得∫(0到ξ)f(x)dx=f(ξ)

题目

设f(x)在[0,1]上连续,∫(下0,上1)f(x)dx=0,证明在(0,1)内,至少存在一点ξ 使得∫(0到ξ)f(x)dx=f(ξ)

答案

令F(x)=e^(-x)积分（从0到x）f(t)dt,F‘(x)=e^(-x)(f(x)-积分（从0到x）f(t)dt),F(0)=F(1)=0,Rolle中值定理得结论.