当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值

题目

当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值
当x∈(0,2]时,
函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值,
则a的取值范围是?

答案

若
a=0,
f(x)=4x-3单调递增,的确在x=2取得最大值
若
a>0
抛物线开口向上,取得最大值只能在区间边缘取到,
已知区间（0,2],0不可取,只能取2；
所以要满足
f(0)<=f(2)
=>
-3<=12a+5
=>
a>=-3/2
而a已经大于0,必然满足
若
a<0
有两种情况；
1.
在抛物线尖嘴处取得最大值
2 = -2(a+1)/a
=>
a=-1/2
2.
(0,2]在抛物线的单调递增区间内,这时在2处取得最大值
2 <= -2(a+1)/a
a>=-1/2
综上,
只需
a>=-1/2即可