已知m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根，求证：以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩形面积之比不小于4．

题目

已知m，n是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根，求证：以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩形面积之比不小于4．

答案

证明：∵m，n是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根，
∴m+n=-

b

a

，mn=

c

a

，
∴以m+n为边长的正方形面积S_正方形=（m+n）²=(

b

a

)2 ，a、c同号；
以m、n为边长的矩形面积S_矩形=mn=

c

a

，
∴S_正方形：S_矩形=b²：ac；
又关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根，
∴b²-4ac≥0，即b²≥4ac，∴

b2

ac

≥4，
即S_正方形：S_矩形=b²：ac≥4，
∴以m+n为边长的正方形面积与以m、n为边长的矩形面积之比不小于4．